Należy też podkrelić, że funkcja (5) opisuje raster, którego kšt nachylenia wynosi 0Ą. Ma to znaczenie w przypadku drukowania prac wielobarwnych. Wówczas wymaga się odpowiedniego ustawienia kštowego względem siebie kolejnych rastrów, aby uniknšć interferencji i powstawania zniekształceń obrazu zwanych efektem Moire'a. Odpowiada to dalszym modyfikacjom równania (5).
Obecnie struktury rastrowe syntetyzowane sš cyfrowo. Wišże się z tym pewien kłopot, o ile bowiem maszyny cyfrowe wietnie sobie radzš z liczbami naturalnymi, o tyle w przypadku liczb rzeczywistych uporczywie zaokršglajš je do pewnej stałej dokładnoci, kompletnie nie rozumiejšc pojęcia continuum. Skoro tak, to najlepiej od razu, pogodziwszy się z losem, odwzorować próbki obrazu Si,j w zbiór liczb naturalnych.
Ponieważ w technice cyfrowej z góry zakłada się użycie funkcji dwuwartociowych, przyda się teraz przedstawienie potrzebnych funkcji jako macierzy.
Dla celów poligraficznych potrzebna jest macierz obrazu o wartociach binarnych, gdzie gęstoć optyczna zostanie zastšpiona punktem rastrowym o okrelonej powierzchni, analogicznie jak w rastrowaniu analogowym. Dšżyć będziemy więc do modulacji impulsów okrelonych macierzš próbkujšcš za pomocš liczb naturalnych, proporcjonalnych do wartoci Si,j. Doprowadzi to do sytuacji, w której wielkoć punktu rastrowego będzie się zmieniać skokowo. Osišgnšć to można przez użycie dla każdej wartoci Si,j specjalnie skonstruowanej tzw. macierzy kwantyzacji.
W tym ujęciu macierz kwantyzacji można okrelić na wiele sposobów, aby jednak uniknšć deformacji obrazu, macierz ta musi być macierzš kwadratowš. Przykładem może być macierz spełniajšca następujšce warunki:
Ta sprytna konstrukcja opisuje co w rodzaju piramidki, której każdy stopień odzwierciedla kolejnš z liczb naturalnych, zastępujšcš wzrastajšce wartoci Si,j.
Dodatkowo, ponieważ wartoci Si,j mogš dla rzeczywistych obrazów mieć różny zakres wartoci, wprowadza się znormalizowanš postać funkcji Si,j za pomocš operacji zależnej od wielkoci macierzy kwantyzacji:
Teraz macierz K może być wykorzystana do syntezy punktu rastrowego drogš operacji kwantyzacji dwuwartociowej, którš realizuje funkcja okrelona w sposób następujšcy:
W wyniku realizacji powyższego działania otrzymujemy macierz T o wartociach binarnych [tp,q], tworzšcš obraz pojedynczego punktu rastrowego dla próbki obrazu Si,j. Mechanizm kwantyzacji i budowania macierzy T z wykorzystaniem macierzy kwantyzacji K, zdefiniowanej wyżej, można przedstawić graficznie jak na rysunku 2.
Majšc macierz T można sformułować operację rastrowania tradycyjnego w realizacji cyfrowej za pomocš równania macierzowego, odwzorowujšcego znormalizowanš macierz próbek obrazu Si,j Ńw macierz rastrowš C za pomocš iloczynu Kroneckera, macierzy próbkujšcej i macierzy T:
W praktyce oznacza to, że każdy punkt rastrowy kons-truowany jest za pomocš zbioru punktów atomowych, stycznych ze sobš, zatem ich liczebnoć w obrębie punktu rastrowego wzrasta wraz ze wzrostem jego rozmiaru. Punkty atomowe sš w zastosowaniach praktycznych wytwarzane promieniem laserowym. Postępowanie takie ma dodatkowš konsekwencję: w metodzie fotograficznej rednica punktu rastrowego zmienia się w sposób cišgły w zależnoci od Si,j.
W realizacji cyfrowej funkcji R(x,y) odpowiada macierz C zawierajšca elementy binarne. Oznacza to skokowy przyrost punktów rastrowych ze wzrostem Si,j o wielkoć punktu atomowego, czyli ograniczenie reprodukowanych gęstoci optycznych do zbioru M = m2 wartoci zwanych poziomami szaroci. W rzeczywistych systemach wykorzystujšcych język PostScript liczba M = 256 dla m = 16. Sposób syntezy cyfrowej rastra tradycyjnego narzuca jednoczenie ograniczenia dotyczšce rozdzielczoci h urzšdzenia drukujšcego. Łatwo zauważyć, że h = lm.
Również skanowanie obrazu odbywa się z wyższš rozdzielczociš. Teoretycznie do zbudowania punktu rastrowego wystarczy pojedyncza wartoć Si,j. W praktyce, ze względu na koniecznoć dodatkowej rotacji rastrów do druku wielobarwnego, w celu uzyskania niezbędnej informacji rozdzielczoć skanowania musi wynosić przynajmniej X = 1,44 l (dla wygody przyjmuje się 1,5-2,0).
Z drugiej strony wyższe rozdzielczoci skanowania sš zbędne, ponieważ uzyskana informacja jest już nadmiarowa w stosunku do operacji konstruowania rastra z wyjštkiem sytuacji, gdy obraz przed drukiem należy powiększyć. Wówczas niezbędna rozdzielczoć musi być pomnożona przez współczynnik powiększenia.
Raster tradycyjny, czyli inaczej modulacja impulsowo-fazowa obrazu nie jest jedynš metodš odwzorowania obrazów w druku. Drugim sposobem reprodukcji obrazów wielotonalnych jest modulacja częstotliwociowa. Zakłada ona istnienie punktów obrazu o stałej wielkoci i liczebnoci proporcjonalnej do gęstoci optycznej.
Zwiększajšca się liczba punktów równie skutecznie zajmuje powierzchnię, a więc taki raster będzie działał na ogólnych zasadach, sformułowanych na poczštku.
Realizujšc ten pomysł, najprociej byłoby znów rozbić obraz na siatkę punktów, tym gęciej, im większa jest gęstoć optyczna. Jednak wówczas za cenę bardziej skomplikowanych operacji można byłoby uzyskać strukturę regularnš, posiadajšcš identyczne wady jak raster tradycyjny. Dlatego też w stosowanych praktycznie rastrach częstotliwociowych zakłada się dodatkowo losowe rozmieszczenie punktów; sš one znane jako rastry stochastyczne.
Niestety, w praktyce nie udało się utworzyć takiego rastra o zadowalajšcych parametrach metodami fotograficznymi. Wykorzystanie rastra stochastycznego stało się możliwe dopiero dzięki zastosowaniu maszyn cyfrowych do jego syntezy.
Skutecznym pomysłem okazał się algorytm leżšcy u podstaw wielu rozwišzań rastra stochastycznego, zaproponowany przez Floyda i Steinberga, który można też nazwać algorytmem z propagacjš błędów. Wprowadza on statystyczne fluktuacje progu kwantyzacji binarnej przez wykorzystanie błędów kwantyzacji punktów obrazu już przetworzonych w sposób następujšcy:
Niech dla danej próbki obrazu Si,j będzie wyznaczona poprzez kwantyzację z progiem k wartoć binarna Bi,j. Z definicji oznacza ona pewne istotne zaokršglenie oryginalnej wartoci Si,j i powstanie błędu o wartoci:
Teraz dla pewnoci lepiej pozbierać kilka takich błędów i obliczyć redniš ważonš z pewnymi z góry ustalonymi wagami:
Kolejna próbka obrazu jest następnie sumowana z obliczonš wczeniej ważonš sumš błędów i dopiero potem kwantyzowana:
Ponieważ wartoci błędów kwantyzacji sš teoretycznie wielkociami losowymi, uzyskujemy strukturę, w której prawdopodobieństwo uzyskania przez zmiennš Bi,j okrelonej wartoci zależy od wartoci poprzedzajšcych próbek Si,j.
Algorytm Floyda-Steinberga nie jest również pozbawiony wad. Do najpoważniejszych należy możliwoć tworzenia się charakterystycznych wzorów punktów rastrowych. Wystarczy bowiem, że obraz zawiera dostatecznie duży obszar o stałej gęstoci optycznej, a wartoć błędu stanie się funkcjš odcinkami okresowš. W celu wyeliminowania tej poważnej wady powstało wiele modyfikacji tego algorytmu, m. in. poprzez modyfikację macierzy wagowej W sygnałem Si,j lub sygnałem losowym. Opracowano też szereg innych algorytmów opartych na przeszukiwaniu binarnym, stochastycznych polach Markowa, analizie Fouriera i modelowaniu widma, analizie falkowej i innych przekształceniach matematycznych.
Pomiędzy tymi doć skrajnymi metodami podejcia do uzyskania funkcji rastra pojawiły się też pomysły, aby połšczyć obie metody, a zatem uzyskać raster hybrydowy. Chociaż połšczenie takie miałoby wyłonić strukturę o najlepszych cechach dotychczasowych metod, częciej okazywało się, że dziedziczy raczej najgorsze wady.
Podstawowym problemem jest tu rozstrzygnięcie, kiedy stosować raster tradycyjny, kiedy stochastyczny i jak te sytuacje identyfikować na obrazach w zastosowaniach praktycznych. Poczštkowo poszukiwania bazowały na pewnych granicznych wartociach gęstoci optycznej obrazu oryginalnego. Skutkowało to dwoma rodzajami problemów technicznych. Pierwszy wynikał z koniecznoci znalezienia obszarów przeznaczonych do rastrowania danym typem rastra i wymagał wstępnej analizy obrazu. Drugim problemem była widoczna granica przejcia pomiędzy różnie rastrowanymi obszarami. Stało się oczywiste, że koncepcja rastra hybrydowego musi być oparta na bardziej wyrafinowanym pomyle. Jednš z najbardziej obiecujšcych koncepcji jest zastosowanie przejcia nie w oparciu o graniczne wartoci gęstoci optycznych oryginału, lecz rastrowych wartoci tonalnych. Zmniejszy to gradient przejcia pomiędzy rastrami przynajmniej o wartoć błędu kwantyzacji. Jak się okazuje, rozwišzanie oparte na takich podstawach zostało niedawno wprowadzone na rynek.
Inne poszukiwania skłaniajš się ku wykorzystaniu analizy falkowej, doć nowej gałęzi analizy matematycznej, która dzięki nieprawdopodobnej mnogoci możliwych zastosowań przeżywa ostatnio wyjštkowo burzliwy rozwój.
Problem rastrowania w poligrafii nie jest więc bynajmniej problemem zamkniętym; przeciwnie, rozwój technologii i podstawowe badania teoretyczne każš spodziewać się w niedługim czasie nowych rozwišzań, zmieniajšcych oblicze współczesnej poligrafii.
